Euklidinen geometria
Jos tarkastellaan euklidista geometriaa, huomaamme selvästi, että se viittaa jäykien kappaleiden sijaintia sääteleviin lakeihin. Se osoittaa nerokasta ajatusta jäljittää kaikki kehoja ja niiden suhteellisia asentoja koskevat suhteet hyvin yksinkertaiseen käsitteeseen ”etäisyys” (Strecke). Etäisyys tarkoittaa jäykkää runkoa, jolle on määritetty kaksi materiaalipistettä (merkki). Etäisyyksien (ja kulmien) tasa-arvon käsite viittaa kokeisiin, joissa tapahtuu sattumia; samat huomautukset koskevat yhdenmukaisuuden lauseita. Nyt euklidinen geometria siinä muodossa, jossa se on annettu meille Euclidilta, käyttää peruskäsitteitä ”suora viiva” ja “taso”, jotka eivät näytä vastaavan tai joka tapauksessa, ei niin suoraan, kokemuksia. jäykien kappaleiden sijainnista. Tässä yhteydessä on huomattava, että suoran käsite voidaan supistaa etäisyyteen.1 Lisäksi geometrian edustajat olivat vähemmän huolissaan perustavanlaatuisten käsitteiden suhteen esiin tuomisesta kokemukseen kuin sen johtopäätöksen loogiseen johtamiseen, että jo muutamasta aksioomista ilmoitettiin eräiden aksioomien geometriset ehdotukset.
Kuvailkaamme lyhyesti, kuinka ehkä euklidisen geometrian perusta voidaan saada etäisyyden käsitteestä.
Aloitamme etäisyyksien tasa-arvosta (etäisyyksien yhtälön aksioma). Oletetaan, että kahdesta epätasa-arvoisesta etäisyydestä toinen on aina suurempi kuin toinen. Samoja aksioomeja on pidettävä etäisyyksien epätasapainon suhteen kuin lukujen epätasa-arvoa.
Kolme etäisyydet AB 1, BC 1, CA 1 voidaan, jos CA 1 valita sopivasti, on omat merkit PN 1, SERT 1, AA 1 päällekkäin toisiinsa siten, että kolmio ABC tuloksia. Etäisyydellä CA 1 on yläraja, jolle tämä rakenne on edelleen vain mahdollista. Pisteet A, (BB ') ja C ovat sitten "suorassa linjassa" (määritelmä). Tämä johtaa käsitteisiin: tuottaa etäisyyden yhtä suurella määrällä; jakamalla etäisyys tasaisiin osiin; ilmaistaan etäisyys lukumäärällä mittatangon avulla (kahden pisteen välisen tilan välin määritelmä).
Kun käsitys kahden pisteen välisestä välistä tai etäisyyden pituudesta on saatu tällä tavoin, vaadimme vain seuraavan aksiooman (Pythagorasin lause) saavuttaaksemme Euklidian geometrian analyyttisesti.
Jokaiselle avaruuspisteelle (vertailukoko) voidaan antaa kolme numeroa (koordinaatit) x, y, z - ja päinvastoin - siten, että jokaiselle pisteparille A (x 1, y 1, z 1) ja B (x 2, y 2, z 2) lause pitää voimassa:
mitta-numero AB = pohjajuuri {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Kaikki muut euklidisen geometrian käsitteet ja ehdotukset voidaan sitten rakentaa puhtaasti loogisesti tältä pohjalta, etenkin myös suoraa ja tasoa koskevat ehdotukset.
Näitä huomautuksia ei tietenkään ole tarkoitettu korvaamaan euklidisen geometrian tiukasti aksioomaista rakennetta. Haluamme vain osoittaa todenmukaisesti, kuinka kaikki geometrian käsitteet voidaan jäljittää etäisyyteen. Olemme samoin saattaneet epitomisoida koko euklidisen geometrian perustan edellisessä viimeisessä lauseessa. Suhde kokemuksen perusteisiin saadaan tällöin lisälauseella.
Koordinaatti voidaan ja on valittava siten, että kaksi Pairharas-lauseen avulla laskettua, yhtä suurella aikavälillä erotettua pisteparia voidaan saada vastaamaan yhtä ja samaa sopivasti valittua etäisyyttä (kiinteällä).
Euklidisen geometrian käsitteet ja ehdotukset voidaan johtaa Pythagoran ehdotuksesta ottamatta käyttöön jäykkiä kappaleita; mutta näillä käsitteillä ja ehdotuksilla ei olisi silloin sisältöä, jota voitaisiin testata. Ne eivät ole "totta" väitteitä, vaan vain loogisesti oikeita ehdotuksia, jotka ovat puhtaasti muodollista.
![Minnellin elokuva Lust for Life [1956]](https://images.thetopknowledge.com/img/entertainment-pop-culture/0/lust-life-film-minnelli-1956.jpg "Minnellin elokuva Lust for Life [1956]")
