Analyysin historia
Kreikkalaiset kohtaavat jatkuvia suuruuksia
Analyysi koostuu niistä matematiikan osista, joissa jatkuva muutos on tärkeää. Niihin sisältyy sileiden käyrien ja pintojen liiketutkimus ja geometria - erityisesti tangenttien, pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen. Muinaiskreikkalaiset matemaatikot edistyivät suuresti sekä analyysin teoriassa että käytännössä. Teoria pakotettiin heihin noin 500 bce, kun Pythagora löysi irrationaaliset voimakkuudet, ja noin 450 bce Zenon liikkeen paradokseilla.
Pythagoralaiset ja irrationaaliset numerot
Aluksi pythagolaiset uskoivat, että kaikki asiat voidaan mitata erillisillä luonnollisilla lukuilla (1, 2, 3,
) ja niiden suhteet (tavalliset fraktiot tai rationaaliluvut). Tätä uskoa ravisteli kuitenkin havainto, että yksikkö neliön (ts. Neliön, jonka sivujen pituus on 1) diagonaalia ei voida ilmaista rationaaliluvuna. Tämä löytö syntyi heidän omasta Pythagoraan lauseesta, joka vahvisti, että suorakulmaisen kolmion hypoteenuksen neliö on yhtä suuri kuin toisten kahden puolen neliöiden summa - nykyaikaisessa merkinnässä, c 2 = a 2 + b 2. Yksikkö neliössä diagonaali on suorakulmaisen kolmion hypotenuusi, jonka sivut ovat a = b = 1; joten sen mitta on√2: n neliöjuuri - irrationaalinen luku. Pythagolaiset olivat siten omia aikomuksiaan vastaan osoittaneet, että rationaaliluvut eivät riittäneet mittaamaan edes yksinkertaisia geometrisia kohteita. (Ks. Sivupalkki: Incommensurables.) Heidän reaktionsa oli luoda linjasegmenttien aritmeetti, sellaisena kuin se löytyy Euclidin elementtien kirjasta II (n. 300 bce), joka sisälsi rationaalisten lukujen geometrisen tulkinnan. Kreikkalaisille linjaosuudet olivat yleisempiä kuin numerot, koska ne sisälsivät sekä jatkuvia että erillisiä suuruuksia.
Itse asiassa√2: n neliöjuuri voidaan suhteuttaa rationaalisiin lukuihin vain äärettömän prosessin kautta. Tämän toteutti Euclid, joka tutki sekä rationaalisten lukujen että linjaosien aritmeettisia piirteitä. Hänen kuuluisa euklidinen algoritmi, kun sitä käytetään luonnollisten lukujen pariin, johtaa äärellisellä määrällä askelta suurimpaan yhteiseen jakajaan. Kuitenkin, kun sitä käytetään rivisegmenttien pariin, jolla on irrationaalinen suhde, kuten esimerkiksi Ö2: n ja 1: n neliöjuuri, se ei lopu. Euclid jopa käytti tätä määrittelemätöntä ominaisuutta irrationaalisuuden kriteerinä. Siksi irrationaalisuus haastoi kreikkalaisen käsityksen numerosta pakottamalla heidät käsittelemään äärettömiä prosesseja.
Zenon paradoksit ja liikeidea
Aivan kuten√2: n neliöjuuri oli haaste kreikkalaisten käsitykselle numerosta, Zenon paradoksit olivat haaste heidän ajatuskäytölleen liikkeelle. Aristoteles lainasi fysiikassaan (n. 350 bce) Zenoa sanomalla:
Liikkeitä ei ole, koska siirretyn täytyy saapua [kentän] keskelle ennen kuin se saapuu lopulle.
Zenon väitteet tunnetaan vain Aristoteleen kautta, joka lainasi niitä pääasiassa kumotakseen ne. Oletettavasti Zeno tarkoitti, että päästäksesi minne tahansa, sinun on ensin mentävä puoliväliin ja ennen sitä neljäsosa tiestä ja ennen sitä kahdeksasosa tieltä ja niin edelleen. Koska tämä etäisyyksien puolittamisprosessi menisi äärettömyyteen (käsite, jota kreikkalaiset eivät hyväksyisi kuin mahdollista), Zeno väitti “todistavan”, että todellisuus koostuu muuttumattomasta olemisesta. Siitä huolimatta, että kreikkalaiset inhottivat äärettömyyttään, havaittiin, että käsite oli välttämätön jatkuvien suuruusasteiden matematiikassa. Joten he perustelivat äärettömyydestä mahdollisimman lopullisesti, loogisessa kehyksessä, jota kutsuttiin mittasuhteiden teoriaksi ja käyttäen uupumismenetelmää.
Eudoxus loi mittasuhteiden teorian noin 350 bce, ja se säilyi Euclid's Elements -kirjassa V. Se vahvisti tarkan suhteen rationaalisten ja mielivaltaisten magnitudien välillä määrittelemällä kaksi voimakkuutta yhtä suureksi, jos niitä pienemmät rationaaliset voimakkuudet olivat samat. Toisin sanoen kaksi voimakkuutta olivat erilaisia vain, jos niiden välillä oli rationaalinen voimakkuus. Tämä määritelmä palveli matemaatikoita kahden vuosituhannen ajan ja tasoitti tietä analyysin aritmetoimiseksi 1800-luvulla, jolloin mielivaltaiset numerot määritettiin tiukasti rationaalisten lukujen perusteella. Suhteiden teoria oli ensimmäinen tiukka käsittely raja-käsitteelle, idea, joka on nykyaikaisen analyysin ydin. Nykyaikaisesti Eudoxuksen teoria määritteli mielivaltaiset suuruudet rationaalisten suuruuslukujen rajoiksi, ja peruslauseet summasta, erotuksesta ja suuruusluokan tuotteesta vastasivat lauseita rajojen summasta, erotuksesta ja tuloksesta.
