Kartioleikkauksen geometria

Kartioleikkaus, jota geometriassa kutsutaan myös kartiomaiseksi, on mikä tahansa käyrä, joka syntyy tason ja oikean ympyräkartion leikkauksesta. Tason kulmasta kartioon nähden leikkauspiste on ympyrä, ellipsi, hyperbooli tai parabooli. Erityisiä (rappeutuneita) leikkaustapauksia tapahtuu, kun taso kulkee vain kärjen läpi (tuottaa yhden pisteen) tai kärjen ja kartion toisen pisteen läpi (tuottaa yhden suoran tai kaksi leikkaavaa suoraa viivaa). Katso kuva.

Projektiivinen geometria: Projektiiviset kartiomaiset profiilit

Kartioleikkauksia voidaan pitää oikean ympyräkartion tasomaisina osina (katso kuva). Tarkastelemalla

Kartioleikkeiden peruskuvaukset, mutta ei nimiä, voidaan jäljittää Menaechmukseen (kukkii n. 350 eKr.), Joka on sekä Platonin että Cniduksen Eudoxuksen oppilas. Pergan Apollonius (n. 262–190 eKr.), Joka tunnetaan nimellä ”suuri geometri”, antoi kartioleikkauksille nimet ja oli ensimmäinen, joka määritteli hyperbolin kaksi haaraa (jotka edellyttävät kaksoiskartiota). Apolloniuksen kahdeksanosainen tutkielma kartiomaisilla osilla, Conics, on yksi antiikin maailman suurimmista tieteellisistä teoksista.

Analyyttinen määritelmä

Kartiokappaleita voidaan myös kuvata tasokäyrinä, jotka ovat kulkevan pisteen polkuja (lokuksia) siten, että sen etäisyys kiinteästä pisteestä (tarkennus) etäisyyteen kiinteästä linjasta (suuntaviiva) on vakio, jota kutsutaan käyrän epäkeskeisyys. Jos epäkeskeisyys on nolla, käyrä on ympyrä; jos yhtä kuin yksi, parabooli; jos vähemmän kuin yksi, ellipsin; ja jos enemmän kuin yksi, hyperbooli. Katso kuva.

Jokainen kartiomainen leikkaus vastaa kaavaa toisen asteen polynomiyhtälöstä muodossa Ax ² + By ² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, missä x ja y ovat muuttujia ja A, B, C, D, E ja F ovat kertoimia, jotka riippuvat tietystä kartiosta. Sopivalla koordinaattiakselien valinnalla minkä tahansa kartion yhtälö voidaan pienentää yhdeksi kolmesta yksinkertaisesta r-muodosta: ^{x 2 / _{a 2} + y 2 / _{b 2} = 1, x 2 / _{a 2} - y 2 / _{b 2} = 1 tai y2 = 2 px, vastaavasti ellipsiä, hyperboolia ja paraboolia, vastaavasti. (Ellipsi, jossa a = b on itse asiassa ympyrä.) Koordinaattijärjestelmien laaja käyttö geometristen käyrien algebrallisessa analysoinnissa sai alkunsa René Descartesista (1596–1650). Katso geometrian historia: Karteesinen geometria.}

Kreikan alkuperä

Kartioleikkausten varhainen historia liittyy "kuution kaksinkertaistamisen" ongelmaan. Kyrreenin Eratosthenesin (n. 276–190 eKr.) Mukaan Deloksen ihmiset kysyivät apollon oraakkeelta apua ruton lopettamisessa (n. 430 eKr.) Ja heitä kehotettiin rakentamaan Apollolle uusi alttari, joka on kaksinkertainen vanhan alttarin tilavuuteen verrattuna. ja samalla kuutiomuotoisella. Hämmentyneinä Delians otti yhteyttä Platoniin, joka totesi, että ”oraakki tarkoitti, että jumala ei halunnut kaksinkertaisen kokoista alttaria, vaan että hän toivoi heille asettaessaan tehtävää häpeää kreikkalaisia ​​heidän laiminlyönneensä matematiikan suhteen ja halveksuntaan. geometriaa varten. ” Chiosin Hippokrates (c. 470–410 bc) havaitsi ensin, että ”Delian-ongelma” voidaan pelkistää etsimällä kaksi keskiarvoa suhteessa a: n ja 2a: n välillä (vastaavien alttarien tilavuudet) - toisin sanoen määrittämällä x ja y siten, että: x = x: y = y: 2a. Tämä vastaa ratkaista samanaikaisesti minkä tahansa kahden yhtälöiden x ² = ay, y ² = H2ax, ja xy = 2a ², joka vastaavat kahta parabolas ja hyperbeli, vastaavasti. Myöhemmin Archimedes (c. 290–211 bc) osoitti, kuinka kartiomaisia ​​osioita voidaan käyttää jakamaan pallo kahteen segmenttiin, joilla on tietty suhde.

Dikkelit (noin 200 bc) osoittivat geometrisesti, että säteet - esimerkiksi auringosta -, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​vallankumouksen paraboloidin akselin kanssa (tuotettu kiertämällä paraboolia sen symmetria-akselin ympäri), kohtaavat keskittyessä. Archimedesin sanotaan käyttäneen tätä omaisuutta vihollisalusten palamiseen. Ellipsin painopisteominaisuudet mainitsi Tralles Anthemius, yksi Konstantinopolin Hagia Sophian katedraalin arkkitehdeista (valmistunut ilmoituksessa 537) keinona varmistaa, että alttari voidaan valaista auringonvalolla koko päivän.