Muodollinen logiikka

Semanttinen taulukko

1980-luvulta lähtien toinen tekniikka argumenttien pätevyyden määrittämiseksi joko PC: ssä tai LPC: ssä on saavuttanut jonkin verran suosiota johtuen sekä sen helppo oppimisesta että siitä, että tietokoneohjelmat toteuttavat sen suoraan. Alun perin hollantilainen logistiikka Evert W. Beth ehdotti sitä, amerikkalainen matemaatikko ja logistiikka Raymond M. Smullyan kehitti sen ja julkisti sen. Jatkaen huomautusta, jonka mukaan pätevän väitteen olettamukset eivät ole totta, kun taas johtopäätös on väärä, tällä menetelmällä yritetään tulkita (tai arvioida) tiloja siten, että ne kaikki ovat samanaikaisesti tyytyväisiä, ja johtopäätös on myös tyytyväinen. Menestys tällaisessa yrityksessä osoittaisi väitteen pätemättömyydeksi, kun taas tällaisen tulkinnan löytämättä jättäminen osoittaisi väitteen pätevyyteen.

Semanttisen taulukon konstruointi etenee seuraavasti: ilmaistaan ​​argumentit ja johtopäätöksen kieltäminen PC: ssä käyttämällä vain kieltämistä (∼) ja disjunktiota (∨) ehdotuksellisina yhdistiminä. Poista kaikki kahden kieltäytymismerkin esiintyminen jaksossa (esim. ∼∼∼∼∼a tulee ∼a). Rakenna nyt puukaavio, joka haaroittaa alaspäin siten, että jokainen disjunktio korvataan kahdella haaralla, yksi vasemmalle ja oikealle. Alkuperäinen disjunktio on totta, jos jompikumpi haara on totta. Viittaus De Morganin lakiin osoittaa, että disjunktion kieltäminen on totta vain siinä tapauksessa, että kummankin disjunktin negatiivit ovat totta [ts. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Tämä semanttinen havainto johtaa sääntöyn, että disjunktiivin kieltämisestä tulee yksi haara, joka sisältää kunkin disjunktin kieltämisen:

Harkitse seuraavaa väitettä:

Kirjoittaa:

Poista nyt katkaisu ja muodosta kaksi haaraa:

Vain jos ainakin yhden haaran kaikki lauseet ovat totta, alkuperäisissä olosuhteissa voi olla totta ja johtopäätös virheellinen (vastaavasti päätelmän kieltämisessä). Jäljittämällä viiva ylöspäin jokaisessa haarassa puun yläosaan, havaitaan, että jos vasemman oksan arvoa ei arvosteta, kaikki kyseisen oksan lauseet saavat arvon tosi (a ja ∼a: n takia). Samoin oikeassa haarassa b: n ja ∼b: n esiintyminen tekee mahdottomaksi, että arvostus johtaa kaikki haaran lauseet, jotka saavat arvon tosi. Nämä ovat kaikki mahdolliset haarat; Siksi on mahdotonta löytää tilannetta, jossa tilanteet ovat totta ja johtopäätökset vääriä. Alkuperäinen väite on siis pätevä.

Tätä tekniikkaa voidaan laajentaa käsittelemään muita liittimiä:

Lisäksi LPC: ssä on otettava käyttöön säännöt kvantitatiivisesti määritettyjen wffien pikakehittämiseksi. On selvää, että mikä tahansa haara, joka sisältää sekä (∀x) ϕx: n että ∼ϕy: n, on sellainen, jossa kaikki kyseisen haaran lauseet eivät voi samanaikaisesti täyttyä (olettaen ω-johdonmukaisuus; katso metaloginen). Jälleen, jos kaikki haarat eivät ole samanaikaisesti tyydyttäviä, alkuperäinen argumentti on pätevä.

LPC: n erityisjärjestelmät

Edellä selitetynä LPC: tä voidaan muuttaa rajoittamalla tai laajentamalla wff-alueita eri tavoin:

• 1.PC-järjestelmät. Tässä hahmotellaan joitain tärkeimmistä rajoituksista tuotettuihin järjestelmiin:

  • a.Voidaan vaatia, että jokainen predikaattimuuttuja on monadinen, samalla kun sallitaan ääretön määrä yksittäisiä ja predikaattisia muuttujia. Atomiwffit ovat sitten yksinkertaisesti sellaisia, jotka koostuvat predikaattisesta muuttujasta, jota seuraa yksi yksittäinen muuttuja. Muutoin muodostussäännöt pysyvät kuten aiemmin, ja myös pätevyyden määritelmä on kuten ennenkin, vaikkakin yksinkertaistettu ilmeisillä tavoilla. Tätä järjestelmää tunnetaan nimellä monadic LPC; se tarjoaa ominaisuuksien logiikan, mutta ei suhteiden. Yksi tämän järjestelmän tärkeä ominaisuus on, että se on päätettävissä. (Jopa yhden dyadisen predikaattimuuttujan käyttöönotto tekisi järjestelmästä kuitenkin päättämättömän, ja itse asiassa jopa järjestelmän, joka sisältää vain yhden dyadisen predikaattimuuttujan eikä muita predikaattisia muuttujia, on osoitettu olevan päättämätön.)

  • bVielä yksinkertaisempi järjestelmä voidaan muodostaa vaatimalla (1), että jokaisen predikaattorimuuttujan on oltava monadinen, (2) että käytetään vain yhtä yksittäistä muuttujaa (esim. x), (3) että tämän muuttujan jokainen esiintyminen on sidottu, ja (4) että mittareita ei esiinny minkään muun puitteissa. Esimerkkejä tämän järjestelmän wfs: stä ovat (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] (”Mikä on ϕ, on sekä ψ että χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) (“On jotain, joka on ϕ mutta ei ψ”); ja (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) (“Jos mikä tahansa on ϕ on ψ, niin jotain on sekä ϕ että ψ”). Tämän järjestelmän merkintää voidaan yksinkertaistaa jättämällä x pois kaikkialta ja kirjoittamalla ∃ϕ sanoille "Jotakin on", ∀ (ϕ ⊃ ψ) kohtaan "Mikä on, mikä on, on", ja niin edelleen. Vaikka tämä järjestelmä on alkeellisempi jopa kuin monadinen LPC (josta se on fragmentti), siinä voidaan edustaa monenlaisten päätelmien muotoja. Se on myös päätettävissä oleva järjestelmä, ja sille voidaan antaa perusteelliset päätöksentekomenettelyt.

• 2.LCC: n laajennukset. Kehittyneempiä järjestelmiä, joissa voidaan ilmaista laajempi joukko ehdotuksia, on rakennettu lisäämällä LPC: hen erityyppisiä uusia symboleja. Selvimmät tällaiset lisäykset ovat:

  • a.Yksi tai useampi vakio (sanotaan, a, b,

    ): nämä vakiot tulkitaan tiettyjen yksilöiden nimiksi; muodollisesti ne erotetaan yksittäisistä muuttujista sillä, että niitä ei voi esiintyä kvantifioijissa; esimerkiksi (∀x) on kvantifioija, mutta (∀a) ei ole.

  • b.Yksi tai useampi predikaattivakio (sano A, B,

    ), jokaisen tietyn asteen ajatellaan osoittavan tiettyjä ominaisuuksia tai suhteita.

Toinen mahdollinen lisäys, joka vaatii hieman täydellisempiä selityksiä, koostuu symboleista, jotka on suunniteltu toimimaan. Funktion käsite voidaan selittää riittävästi nykyisiä tarkoituksia varten seuraavasti. N argumentin (tai asteen n) funktiota sanotaan olevan tietty, kun on sääntö, joka määrittelee yksilöivän objektin (kutsutaan funktion arvoksi), kun kaikki argumentit määritetään. Esimerkiksi ihmisten alueella 'äiti' on monadinen funktio (yhden argumentin funktio), koska jokaisella ihmisellä on ainutlaatuinen yksilö, joka on hänen äitinsä; ja luonnollisten lukujen (ts. 0, 1, 2,

), "Ja - summa" on kahden argumentin funktio, koska jokaiselle luonnollisten lukujen parille on olemassa luonnollinen luku, joka on niiden summa. Funktion symbolin voidaan ajatella muodostavan nimen muista nimistä (sen argumentit); siis aina, kun x ja y nimeävät numerot, ”x: n ja y: n summa” nimeää myös numeron, ja samoin muun tyyppisissä funktioissa ja argumentteissa.

Jotta toiminnot voidaan ilmaista LPC: ssä, siihen voidaan lisätä:

• c.Yksi tai useampi funktiomuuttuja (esimerkiksi f, g,

  ) tai yksi tai useampi funktion vakio (sanotaan F, G,

  ) tai molemmat, kukin määritellystä asteesta. Ensin mainitut tulkitaan määriteltyjen tutkintojen toimintojen välillä ja jälkimmäiset osoittavat kyseisen tutkinnon erityiset toiminnot.

Kun jokin tai kaikki a-c lisätään LPC: hen, ala-predikaattikalkuksen jakson ensimmäisessä kappaleessa luetellut muodostussäännöt (ks. Edellä alempi predikaattilaskenta) on muutettava, jotta uudet symbolit voidaan sisällyttää wffs. Tämä voidaan tehdä seuraavasti: Termi määritellään ensin joko (1) yksittäisen muuttujan tai (2) yksilöllisen vakion tai (3) minkä tahansa lausekkeen avulla, joka on muodostettu liittämällä n asteen funktion muuttuja tai funktion vakio mille tahansa n: lle termelle (nämä termit - funktion symbolin argumentit - erotetaan yleensä pilkuilla ja suljetaan suluihin). Korvataan sitten muodostussääntö 1:

• 1'.Lauseke, joka koostuu predikaatin muuttujasta tai predikaattivakiosta asteella n, jota seuraa n termiä, on wff.

LPC: n aksiomatizisaatiota koskevassa jaksossa annettu aksioomaattinen perusta (ks. Edellä LPC: n aksiomatization) vaatii myös seuraavan muokkauksen: aksioomikaaviossa 2 mikä tahansa termi saa korvata a: n, kun muodostuu β, edellyttäen, että mikään muuttuja, joka on vapaa termi sitoutuu p: ssä. Seuraavat esimerkit kuvaavat edellä mainittujen LPC: n lisäysten käyttöä: Olkoot yksittäisten muuttujien arvot luonnolliset numerot; anna yksittäisten vakioiden a ja b merkitä vastaavasti lukuja 2 ja 3; olkoon keskiarvo ”on ensisijainen”; ja olkoon F edustaa dyadista funktiota “summa”. Sitten AF (a, b) ilmaisee lauseen "2 ja 3 summa on alkuluku" ja (∃x) AF (x, a) ilmaisee lauseen "On olemassa sellainen luku, että sen ja 2 summa on alkuluku.”

Vakioiden asettamiseen liittyy yleensä vakiovarusteita sisältävien erityisten aksioomien lisäys aksioomaiseen perustaan, jotka on suunniteltu ilmaisemaan periaatteita, jotka pitävät yllä niitä edustavia esineitä, ominaisuuksia, suhteita tai funktioita - vaikka niissä ei ole esineitä, ominaisuuksia, suhteet tai toiminnot yleensä. Voidaan esimerkiksi päättää käyttää vakioita A edustamaan dyadista suhdetta "on suurempi kuin" (niin että Axy tarkoittaa "x on suurempi kuin y" ja niin edelleen). Tämä suhde, toisin kuin monet muut, on transitiivinen; ts. jos yksi objekti on suurempi kuin toinen ja toinen on puolestaan ​​suurempi kuin kolmas, niin ensimmäinen on suurempi kuin kolmas. Siksi seuraava erityinen aksioomikaavio voidaan lisätä: jos t ₁, t ₂ ja t ₃ ovat mitä tahansa termejä, niin (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ At ₁ t ₃ on aksioomi. Sellaisilla keinoilla voidaan rakentaa järjestelmiä ilmaisemaan erilaisten tieteenalojen loogiset rakenteet. Alue, jolla suurin osa tällaisesta työstä on tehty, on luonnonlukuaritmeettinen.

PC ja LPC yhdistetään joskus yhdeksi järjestelmäksi. Tämä voidaan tehdä yksinkertaisimmin lisäämällä ehdotusmuuttujat LPC-alkukantaisten luetteloon, lisäämällä muodostussääntö, jonka mukaan yksin seisova ehdotusmuuttuja on wff, ja poistamalla ”LPC” aksioomikaaviossa 1. Tämä tuottaa wff-sellaisia ​​lausekkeita. muodossa (p ∨ q) ⊃ (∀x) x ja (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-with-identiteettiä. Sanaa "ei" ei käytetä aina samalla tavalla. Ehdotuksessa, kuten (1) ”Sokrates on merkitty”, ”edeltävä lause” nimittää yksilön ja sitä seuraava lause tarkoittaa kyseiselle yksilölle annettua ominaisuutta. Mutta ehdotuksessa, kuten (2) "Sokrates on ateenalainen filosofi, joka joi helvetin", ilmaisut, jotka edeltävät ja seuraavat "on", ovat molemmat nimi-yksilöitä, ja koko ehdotuksen tarkoitus on, että ensimmäisen nimeämä henkilö on sama henkilö kuin toisen nimeämä henkilö. Siten 2: ssa "on" voidaan laajentaa "on sama henkilö kuin", kun taas yhdessä se ei voi. Kohdassa 2 käytettynä "on" tarkoittaa dyadista suhdetta - nimittäin identiteettiä, jonka ehdotus väittää pitävän kahden yksilön välillä. Identiteettiehdotus on ymmärrettävä tässä yhteydessä niin, että se väittää vain tämän; erityisesti ei pidä katsoa väittävän, että kahdella nimityslausekkeella on sama merkitys. Paljon keskusteltu esimerkki tämän viimeisen kohdan havainnollistamiseksi on ”Aamutähti on iltatähti”. On väärää, että ilmaisut ”aamutähti” ja “iltatähti” tarkoittavat samaa, mutta on totta, että entisen mainitsema esine on sama kuin jälkimmäisen (Venus-planeetta) viittaus.

Identiteettiehdotusten muotojen ilmaisemiseksi LPC: hen lisätään dyadinen predikaattivakio, jolle tavallisin merkintä on = (kirjoitettu sen väitteiden väliin, ennemmin kuin väliin). X = y: n aiottu tulkinta on, että x on sama henkilö kuin y, ja kätevin lukema on “x on identtinen y: n kanssa”. Sen kieltämistä ∼ (x = y) lyhennetään yleisesti nimellä x ≠ y. Aikaisemmin annettuun LPC-mallin määritelmään (katso yllä validointi LPC: ssä) on nyt lisätty sääntö (joka sopii ilmeisellä tavalla aiottuun tulkintaan), että arvon x = y on oltava 1, jos sama D on osoitettu sekä x: lle että y: lle ja että muuten sen arvon on oltava 0; pätevyys voidaan sitten määritellä kuten ennen. Seuraavat lisäykset (tai vastaavat lisäykset) tehdään LPC: n aksomaattiselle perustalle: aksioomi x = x ja aksioomikaavio, jossa a ja b ovat yksittäisiä muuttujia ja α ja β ovat wffit, jotka eroavat vain siinä, että yhdessä tai useammassa paikassa, jossa a: lla on vapaa esiintyminen a: lla, β: lla on ilmaista b: tä, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) on aksiooma. Tällainen järjestelmä tunnetaan matalampanaisena predikaattina-laskenta-identiteettinä; sitä voidaan tietysti lisätä edelleen muilla tavoilla, joihin on viitattu edellä kohdassa "LPC: n laajennukset", jolloin mikä tahansa termi voi olla =.

Identiteetti on ekvivalenttisuhde; eli se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Sen refleksiivisyys ilmaistaan ​​suoraan aksioomissa x = x, ja sen symmetriaa ja transitiivisyyttä ilmaisevat lauseet voidaan helposti johtaa annetusta perusteesta.

Tietyt LPC-identiteetin omaavat wffit ilmaisevat ehdotuksia asioiden lukumäärästä, joilla on tietty ominaisuus. ”Ainakin yksi asia on ϕ” voidaan tietysti ilmaista jo (∃x) ϕx; ”Ainakin kaksi erillistä (epäidentiaalista) asiaa on ϕ” voidaan nyt ilmaista (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); ja sekvenssiä voidaan jatkaa ilmeisellä tavalla. ”Korkeintaan yksi asia on ϕ” (ts. ”Kaksi erillistä asiaa ei ole molempia ϕ”) voidaan ilmaista viimeksi mainitun wffin kieltämisellä tai vastaavalla, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], jaksoa voidaan jälleen jatkaa helposti. Kaava "Täsmälleen yksi asia on ϕ" voidaan saada yhdistämällä kaavat "ainakin yksi asia on ϕ" ja "korkeintaan yksi asia on ϕ", mutta tätä konjunktiota vastaava yksinkertaisempi wff on (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], joka tarkoittaa ”on jotain, joka on ϕ, ja kaikki mikä on ϕ on se asia”. Lause ”Täsmälleen kaksi asiaa on ϕ” voidaan edustaa (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; eli "On olemassa kaksi epäidentiaalista asiaa, joista kukin on ϕ, ja kaikki mikä on", on yksi niistä. " On selvää, että tätä sekvenssiä voidaan myös laajentaa antamaan kaava "Täsmälleen n asiat ovat ϕ" jokaiselle luonnolliselle määrälle n. Wff: n on kätevä lyhentää sanalla “Täsmälleen yksi asia on ϕ” - (∃! X) ϕx. Tämä erityinen kvantifioija luetaan usein ääneen nimellä "E-Shriek x".

Ehdotetut kuvaukset

Kun tietty ominaisuus ϕ kuuluu yhdelle ja vain yhdelle objektille, on kätevää saada lauseke, joka nimeää kyseisen objektin. Yleinen merkintä tätä tarkoitusta varten on (ιx) ϕx, jota voidaan lukea ”asiana, joka on ϕ” tai lyhyesti sanottuna ”the”. Yleensä, missä a on mikä tahansa yksittäinen muuttuja ja α on mikä tahansa wff, (ιa) α tarkoittaa silloin a: n yksittäistä arvoa, joka tekee α: sta totta. Lausekkeen muotoa niin ja niin kutsutaan selväksi kuvaukseksi; ja (ιx), joka tunnetaan kuvausoperaattorina, voidaan ajatella muodostavan yksilön nimen ehdotusmuodosta. (ιx) on analoginen kvantifioijalle siinä, että kun se on etuliitteenä wff α: lle, se sitoo x: n vapaan esiintymisen α: ssa. Sidottujen muuttujien uudelleen laskeminen on myös sallittua; yksinkertaisimmassa tapauksessa (ιx) ϕx ja (ιy) ϕy voidaan kukin lukea yksinkertaisesti "ϕ".

Muodostussääntöjen osalta voidaan määritellä selkeät kuvaukset LPC: hen antamalla muodon (ιa) α lausekkeet laskea termeiksi; Säännön 1 ′ yläpuolella, ”LPC: n laajennukset”, antaa niiden sitten esiintyä atomikaavoissa (mukaan lukien identtiset kaavat). ”Φ on (ts. Sillä on ominaisuus) ψ” voidaan sitten ilmaista muodossa ψ (ιx) xx; ”Y on (sama henkilö kuin) ϕ” kuin y = (ιx) ϕx; ”Φ on (sama henkilö kuin) ψ” kuin (ιx) ϕx = (ιy) ψy; ja niin edelleen.

Selkeitä kuvauksia sisältävien ehdotusten oikea analyysi on aiheuttanut huomattavaa filosofista kiistaa. Yhden laajalti hyväksytyn lausunnon mukaan - joka on olennaisesti julkaisussa Principia Mathematica ja joka tunnetaan nimellä Russellin kuvausteoria -, todetaan, että ”ϕ on” on ymmärrettävä tarkoittavan, että tarkalleen yksi asia on ϕ ja tämä asia on myös ψ. Siinä tapauksessa se voidaan ilmaista LPC-tunnuksella, joka ei sisällä kuvausoperaattoreita, nimittäin (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogisesti "y on ϕ" analysoidaan kuin "y on ϕ eikä mikään muu ole ϕ" ja siten ilmaistavissa (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). ”Φ on ψ” analysoidaan seuraavasti: ”Täsmälleen yksi asia on ϕ, täsmälleen yksi asia on ψ, ja mikä tahansa on ψ on ψ” ja siten ilmaistavissa merkinnällä (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) x, y = (ιx) x ja (ιx) ϕx = (ιy) ψy voidaan sitten pitää vastaavasti (1), (2) ja (3) lyhenteinä; ja yleistämällä monimutkaisempiin tapauksiin, kaikkia sellaisia ​​operaattoreita, jotka sisältävät kuvausoperaattoreita, voidaan pitää lyhenteinä pitemmille wfeille, joissa ei ole.

Analyysi, joka johtaa kaavaan (1) kaavalle ”The ϕ on ψ” johtaa seuraavaan lausekkeelle “The (ei ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. On tärkeää huomata, että (4) ei ole kohdan (1) kieltäminen; tämä kielto on sen sijaan (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Ero kohtien (4) ja (5) välillä on siinä, että (4) on totta vain silloin, kun on tarkalleen yksi asia, joka on ϕ ja tämä asia ei ole ψ, mutta (5) on totta sekä tässä tapauksessa että myös silloin, kun mikään ei ole ϕ ollenkaan ja kun useampi kuin yksi asia on ϕ. Huomiotta jättäminen (4) ja (5) välillä ei voi aiheuttaa vakavaa sekaannusta; tavallisessa puheessa on usein epäselvää, myöntääkö joku, joka kiistää sen, että ϕ on ψ, että täsmälleen yksi asia on ϕ, mutta kieltääkö se, että ψ, vai kieltääkö, että tarkalleen yksi asia on ϕ.

Russellin kuvausteorian perusväite on, että ehdotusta, joka sisältää selkeän kuvauksen, ei tule pitää väitteenä esineestä, jonka kuvaus on nimi, vaan pikemminkin eksistentiaalisesti määrälliseksi väitteeksi siitä, että tietyllä (melko monimutkaisella) ominaisuudella on esimerkki. Muodollisesti tämä heijastuu yllä kuvattuihin kuvausoperaattoreiden poistamista koskeviin sääntöihin.