Sturm-Liouville -tehtävä tai ominaisarvoon liittyvä ongelma matematiikassa tietyn osittaisen differentiaaliyhtälön (PDE) luokka, johon liittyy ratkaisuille lisärajoitteita, joita kutsutaan raja-arvoiksi. Tällaiset yhtälöt ovat yleisiä sekä klassisessa fysiikassa (esim. Lämmönjohtavuus) että kvanttimekaniikassa (esim. Schrödingerin yhtälö) prosessien kuvaamiseksi, joissa jotakin ulkoista arvoa (raja-arvoa) pidetään vakiona, kun taas kiinnostuksen kohteena oleva järjestelmä välittää jonkinlaista energiaa.
1830-luvun puolivälissä ranskalaiset matemaatikot Charles-François Sturm ja Joseph Liouville keskustelivat itsenäisesti metallitangon läpi tapahtuvan lämmönjohtavuuden ongelmasta kehittäessään tekniikoita suuren PDE-luokan ratkaisemiseksi, joista yksinkertaisimmat ovat muodossa [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0, jossa y on jokin fyysinen määrä (tai kvantti-mekaaninen aalto-funktio) ja λ on parametri tai ominaisarvo, joka rajoittaa yhtälöä niin että y täyttää raja-arvot sen ajanjakson päätepisteissä, jonka aikana muuttuja x on. Jos funktiot p, q ja r tyydyttävät sopivat olosuhteet, yhtälöllä on omaarvoratkaisuja vastaava ratkaisuperhe, jota kutsutaan ominaisfunktioiksi.
Monimutkaisemmalle ei-homogeeniselle tapaukselle, jossa yllä olevan yhtälön oikea puoli on funktio, f (x) eikä nolla, vastaavan homogeenisen yhtälön ominaisarvoja voidaan verrata alkuperäisen yhtälön ominaisarvoihin. Jos nämä arvot ovat erilaisia, ongelmalle on ainutlaatuinen ratkaisu. Toisaalta, jos jokin näistä ominaisarvoista vastaa, ongelmalla ei ole joko ratkaisua tai kokonaista ratkaisuperhettä funktion f (x) ominaisuuksista riippuen.
