Diophantus, sukunimi Diophantus Alexandria, (kukoisti n. 250), kreikkalainen matemaatikko, kuuluisa algebra-teoksestaan.
lukuteoria: Diophantus
Myöhemmistä kreikkalaisista matemaatikoista erityisen huomionarvoista on Diophantus Alexandriasta (kukoisti n. 250), kirjailija
Se mitä vähän Diophantuksen elämästä tiedetään, on epäsuora. Nimityksestä ”Alexandria” näyttää siltä, että hän työskenteli antiikin Kreikan maailman tärkeimmässä tieteellisessä keskuksessa; ja koska häntä ei ole mainittu ennen 4. vuosisataa, näyttää todennäköiseltä, että hän kukoisti kolmannen vuosisadan aikana. Myöhäisen antiikin Anthologia Graecasta peräisin oleva aritmeettinen kappale, jonka tarkoituksena oli jäljittää joitain hänen elämänsä pääpiirteitä (avioliitto 33-vuotiaana, poikansa syntyminen 38-vuotiaana, poikansa kuolema neljä vuotta ennen hänen omaa 84-vuotiaana), voidaan hyvinkin harkita. Hänen nimensä alla on tullut alas kaksi teosta, molemmat puutteelliset. Ensimmäinen on pieni fragmentti monikulmionumeroista (luku on monikulmio, jos sama määrä pisteitä voidaan järjestää normaalin monikulmion muodossa). Toinen, suuri ja erittäin vaikutusvaltainen tutkielma, johon kaikki Diophantuksen muinaiset ja modernit maineet kuuluvat, on hänen Arithmetica. Sen historiallisella merkityksellä on kaksi: se on ensimmäinen tunnettu työ, jossa käytetään algebraa modernissa tyylillä, ja se inspiroi lukuteorian uudestisyntymistä.
Aritmeetti alkaa johdannolla, joka on osoitettu Dionysiukselle - luultavasti St. Dionysiukselle Alexandriasta. Joidenkin yleisten lukujen jälkeen Diophantus selittää hänen symboliikkansa - hän käyttää symboleja tuntemattomalle (vastaa x: äämme) ja sen voimille, positiivisia tai negatiivisia, samoin kuin joihinkin aritmeettisiin toimintoihin -, suurin osa näistä symboleista on selvästi kirjaimellisia lyhenteitä. Tämä on ensimmäinen ja ainoa algebrallisen symbolismin esiintyminen ennen 1500-lukua. Kun hän on opettanut tuntemattomien voimien kertolaskun, Diophantus selittää positiivisten ja negatiivisten termien kertolaskun ja sitten kuinka vähentää yhtälö yhdeksi, jossa on vain positiivisia termejä (antiikin suosima standardimuoto). Näiden alustavien tietojen ollessa poissa käytöstä, Diophantus etenee ongelmiin. Itse asiassa Arithmetica on olennaisesti kokoelma ongelmia ratkaisujen kanssa, noin 260 osaa edelleen olemassa.
Johdannossa todetaan myös, että työ on jaettu 13 kirjaan. Kuusi näistä kirjoista tunnettiin Euroopassa 1500-luvun lopulla, bysanttilaiset tutkijat lähettivät kreikan kielellä ja numeroivat I - VI; neljä muuta kirjaa löydettiin vuonna 1968 yhdeksännen vuosisadan arabialaisesta käännöksestä, jonka teki Qusṭā ibn Lūqā. Arabialaisesta tekstistä puuttuu kuitenkin matemaattinen symboliikka, ja se näyttää perustuvan myöhempään kreikkalaiseen kommenttiin - kenties Hypatian kommenttiin (n. 370–415) -, joka laimensi Diophantuksen kuvausta. Tiedämme nyt, että kreikkalaisten kirjojen numerointia on muutettava: Arithmetica koostuu siis kirjoista I – III kreikan kielellä, kirjoista IV – VII arabian kielellä ja oletettavasti kirjoista VIII – X kreikan kielellä (entiset kreikkalaiset kirjat IV – VI). Lisänumerointi on epätodennäköistä; On melko varmaa, että bysanttilaiset tunsivat vain kuusi lähettämäänsä kirjaa ja arabit vain kirjoja I – VII kommentoidussa versiossa.
Kirja I: n ongelmat eivät ole ominaisia, koska ne ovat enimmäkseen yksinkertaisia ongelmia, joita käytetään havainnollistamaan algebrallista laskentaa. Diophantuksen ongelmien erityispiirteet ilmenevät myöhemmistä kirjoista: ne ovat määrittelemättömiä (joilla on enemmän kuin yksi ratkaisu), ovat toisen asteen tai vähennettävissä toiseen asteeseen (suurin voima muuttuvilla ehdoilla on 2, ts. X 2), ja lopuksi määritetään positiivinen rationaaliarvo tuntemattomalle, joka tekee annetusta algebrallisesta lausekkeesta numeerisen neliön tai joskus kuution. (Koko teoksessaan Diophantus käyttää ”numeroa” viitaten niin kutsuttuihin positiivisiin, rationaalisiin lukuihin; siis neliöluku on jonkin positiivisen, rationaalisen luvun neliö.) II ja III kirja opettaa myös yleisiä menetelmiä. Kirja II: n kolmessa ongelmassa selitetään, kuinka esitetään: (1) mikä tahansa annettu neliöluku kahden rationaalisen numeron neliöiden summana; (2) mikä tahansa annettu ei-neliö, joka on kahden tunnetun neliön summa kahden muun neliön summana; ja (3) mikä tahansa annettu rationaaliluku kahden ruudun erotuksena. Vaikka ensimmäinen ja kolmas ongelma esitetään yleensä, toisen ongelman ratkaisun oletettu tuntemus viittaa siihen, että jokainen rationaaliluku ei ole kahden ruudun summa. Diophantus myöhemmin asettaa kokonaisluvun ehdon: Annettu luku ei saa sisältää mitään muodon 4n + 3 alkutekijää, joka on korotettu parittomalle teholle, missä n on ei-negatiivinen kokonaisluku. Tällaiset esimerkit motivoivat lukuteorian uudestisyntymistä. Vaikka Diophantus on tyypillisesti tyytyväinen saamaan yhden ratkaisun ongelmaan, hän mainitsee toisinaan ongelmissa, että olemassa on ääretön määrä ratkaisuja.
Kirjoissa IV – VII Diophantus laajentaa edellä kuvatut perusmenetelmät korkeamman asteen ongelmiin, jotka voidaan pelkistää ensimmäisen tai toisen asteen binomiyhtälöksi. Näiden kirjojen johdannossa todetaan, että niiden tarkoituksena on tarjota lukijalle "kokemus ja taidot". Vaikka tämä viimeaikainen löytö ei lisää tietoa Diophantuksen matematiikasta, se muuttaa hänen pedagogisten kykyjensä arviointia. Kirjat VIII ja IX (oletettavasti kreikkalaiset kirjat IV ja V) ratkaisevat vaikeampia ongelmia, vaikka perusmenetelmät pysyisivät samoina. Esimerkiksi yksi ongelma sisältää tietyn kokonaisluvun hajottamisen kahden ruudun summaan, jotka ovat mielivaltaisesti lähellä toisiaan. Samankaltainen ongelma sisältää tietyn kokonaisluvun hajottamisen kolmen ruudun summaan; siinä Diophantus sulkee pois mahdotonta kokonaislukuja, joiden muoto on 8n + 7 (taas n on ei-negatiivinen kokonaisluku). Kirja X (oletettavasti kreikkalainen kirja VI) käsittelee suorakulmaisia kolmioita, joilla on rationaaliset sivut ja joihin sovelletaan useita muita ehtoja.
Arithmetican kolmen puuttuvan kirjan sisällöstä voidaan olettaa johdannosta, jossa sanottuaan, että ongelman pienentämisen pitäisi "mahdollisuuksien mukaan" päätyä binomiyhtälölle, Diophantus lisää, että hän käsittelee tapausta "myöhemmin". kolmiulotteisesta yhtälöstä - lupaus, jota ei ole täytetty jäljellä olevassa osassa.
Vaikka hänellä oli käytössään rajoitettu määrä algebrallisia työkaluja, Diophantus onnistui ratkaisemaan monia erilaisia ongelmia, ja Arithmetica innosti arabialaisia matemaatikoita, kuten al-Karajī (n. 980–1030) soveltamaan menetelmiään. Diophantuksen työn tunnetuin jatko oli nykyaikaisen numeroteorian perustajan Pierre de Fermatin (1601–65) perustaja. Arithmetica-kopionsa reunuksissa Fermat kirjoitti erilaisia huomautuksia, ehdottaen uusia ratkaisuja, korjauksia ja yleistyksiä Diophantuksen menetelmistä sekä joitain oletuksia, kuten Fermatin viimeinen lause, joka miehitti matemaatikot tuleville sukupolville. Integroimattomiin ratkaisuihin rajoitetut määrittelemättömät yhtälöt ovat tulleet tunnetuksi, vaikkakin sopimattomasti, diofanttiiniyhtälöinä.
