Matematiikan perusteet

Luokkateoria

Abstraktio matematiikassa

Yksi viimeaikainen suuntaus matematiikan kehityksessä on ollut asteittainen abstraktioprosessi. Norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel (1802–29) osoitti, että radikaalit eivät yleensä pysty ratkaisemaan viidennen asteen yhtälöitä. Ranskalainen matemaatikko Évariste Galois (1811–32), jota motivoi osittain Abelin työ, esitteli tietyt permutaatioryhmät määritelläkseen tarvittavat olosuhteet polynomiyhtälön ratkaisemiseksi. Nämä konkreettiset ryhmät antoivat pian abstrakteja ryhmiä, joita kuvailtiin aksiaattisesti. Sitten tajutaan, että ryhmien tutkimiseksi on tutkittava eri ryhmien välistä suhdetta - erityisesti homomorfismeja, jotka kartoittavat ryhmän toiseen säilyttäen samalla ryhmäoperaatiot. Niinpä ihmiset alkoivat tutkia, mitä nykyään kutsutaan ryhmien konkreettiseksi luokkaksi, jonka objektit ovat ryhmiä ja joiden nuolet ovat homomorfismeja. Ei kulunut kauaa, kun konkreettiset luokat korvattiin abstrakteilla kategorioilla, joita kuvataan jälleen aksiomaattisesti.

Samuel Eilenberg ja Saunders Mac Lane esittelivät kategorian tärkeän käsitteen toisen maailmansodan lopussa. Nämä modernit luokat on erotettava Aristoteleen luokista, joita nykyisessä tilanteessa kutsutaan paremmin tyypeiksi. Ryhmässä ei ole vain esineitä, vaan myös niiden välisiä nuolia (joihin viitataan myös morfismeina, muunnoksina tai kuvauksina).

Monissa luokissa on esineinä joukot, joille on annettu jokin rakenne ja nuolet, jotka säilyttävät tämän rakenteen. Siksi on olemassa sarjoja sarjoja (tyhjillä rakenteilla) ja kuvauksia, ryhmiä ja ryhmähomorfismeja, renkaita ja rengashomomorfismeja, vektoriavaroja ja lineaarisia muunnoksia, topologisia tiloja ja jatkuvia kuvauksia ja niin edelleen. Edelleen vielä abstraktimmalla tasolla on olemassa (pienten) luokkien ja toimijoiden luokka, koska luokkien välisiä morfioita kutsutaan, jotka säilyttävät suhteet esineiden ja nuolien välillä.

Kaikkia luokkia ei voida tarkastella tällä konkreettisella tavalla. Esimerkiksi deduktiivisen järjestelmän kaavoja voidaan pitää objektina luokassa, jonka nuolet f: A → B ovat B: n vähennyksiä A: sta. Tämä näkökulma on tärkeä teoreettisessa tietotekniikassa, jossa kaavojen ajatellaan tyypeinä ja vähennykset operaatioina.

Muodollisemmin luokka koostuu (1) kokoelmasta esineitä A, B, C,…, (2) jokaiselle kokoelman tilatulle esineparille liittyvä muunnoskokoelma, joka sisältää identiteetin I _A ∶ A → A, ja (3) siihen liittyvä koostumuslaki jokaiselle luokkaan kuuluvien tilattujen kolminkertaisten kohteiden kohdalla siten, että f ∶ A → B ja g ∶ B → C koostumus gf (tai g ○ f) on muunnos A: sta C: ksi, eli gf ∶ A → C. Lisäksi assosiatiivista lakia ja identiteettejä vaaditaan (missä koostumukset on määritelty) -eli, h (gf) = (hg) f ja 1 _B f = f = f1.

Tietyssä mielessä abstraktin luokan kohteilla ei ole ikkunoita, kuten Leibnizin luostarit. Objektin A sisäpuolen päätelmäksi on katsottava vain kaikkien muiden esineiden nuolet A: hon. Esimerkiksi sarjojen luokassa joukon A elementit voidaan edustaa nuoleilla tyypillisestä yksielementistä, joka asetetaan A: ksi.. Samoin luokkaan pieniä luokkia, jos 1 on luokka, jossa on yksi kohde eikä nonidentity nuolet, objektit luokan voidaan tunnistaa kanssa functors 1 →. Lisäksi, jos 2 on luokka, jossa on kaksi esineitä ja yksi nonidentity nuoli, nuolet voidaan tunnistaa kanssa functors 2 →.

Isomorfiset rakenteet

Nuolella f: A → B kutsutaan isomorfismi jos on nuoli g: B → käänteinen ja f-, joka on siten, että g ○ f = 1 ja f ○ g = 1 _B. Tätä kirjoitetaan A ≅ B, ja A: ta ja B: tä kutsutaan isomorfisiksi, mikä tarkoittaa, että niiden rakenne on olennaisesti sama ja että niitä ei tarvitse erottaa toisistaan. Sikäli kuin matemaattiset entiteetit ovat luokkien objekteja, niille annetaan vain isomorfismi. Niiden perinteisillä joukko-teoreettisilla rakenteilla, lukuun ottamatta hyödyllistä tarkoitusta osoittaa johdonmukaisuus, on todella merkityksetön.

Esimerkiksi kokonaislukurenkaan tavanomaisessa rakenteessa kokonaisluku määritellään luonnollisten lukujen parien (m, n) ekvivalenssiluokkaksi, missä (m, n) vastaa (m ′, n ′), jos ja vain jos m + n ′ = m ′ + n. Ajatuksena on, että (m, n) ekvivalenssiluokkaa on pidettävä m - n: nä. Tärkeää kategorialle on kuitenkin se, että kokonaislukujen rengas ℤ on ensisijainen kohde rengasten ja homomorfismien luokassa - toisin sanoen jokaisessa renkaassa ℝ on ainutlaatuinen homomorfismi ℤ → ℝ. Tällä tavalla katsottuna ℤ annetaan vain isomorfismille. Samassa hengessä ei pitäisi sanoa, että ℤ sisältyy rationaalisten lukujen kenttään but, vaan vain, että homomorfismi ℤ → ℚ on yksi-yksi. Samoin ei ole mitään syytä puhua π: n π: n ja neliöjuuren joukon teoreettisesta leikkauksesta, jos molemmat ilmaistaan ​​joukkojoukkojoukkoina (ad infinitum).

Erityisen kiinnostavia säätiöissä ja muualla ovat vierekkäiset toimijat (F, G). Nämä ovat kahden luokan ? ja ℬ välisiä funktoripareja, jotka kulkevat vastakkaisiin suuntiin siten, että ℬ: ssä olevien nuolien F (A) → B ja nuoleiden A → G (B) välillä on yksi-yhteen vastaavuus.) ? - eli sellainen, että sarjat ovat isomorfisia.