Logiikka ja metalogiikka
Yhdessä mielessä logiikka on tunnistettava ensimmäisen kertaluvun predikaattisella laskutoimituksella, laskelmalla, jossa muuttujat rajoittuvat kiinteän alueen yksilöihin - vaikka se voi sisältää myös identiteettilogiikan, jota symboloi "=", joka ottaa identiteetin tavanomaiset ominaisuudet osana logiikkaa. Tässä mielessä Gottlob Frege saavutti muodollisen logiikkalaskennan jo vuonna 1879. Joskus logiikka tulkitaan kuitenkin siten, että se sisältää myös korkeamman asteen predikaattilaskut, jotka sallivat korkeampien tyyppisten muuttujien, kuten muutokset, jotka ylittävät predikaatit (tai luokat ja suhteet)) ja niin edelleen. Mutta sitten se on pieni askel joukkoteorian sisällyttämiseen, ja itse asiassa axiomaattista joukkoteoriaa pidetään usein osana logiikkaa. Tämän artikkelin tarkoituksia varten on kuitenkin tarkoituksenmukaisempaa rajata keskustelu logiikkaan ensimmäisessä mielessä.
Logistiikan merkittäviä löydöksiä on vaikea erottaa metalogisen havainnoista, koska kaikki logiikit kiinnostavat lauseet koskevat logiikkaa ja kuuluvat siksi metalogiaan. Jos p on matemaattinen lause - etenkin yksi logiikasta - ja P on matemaattisten aksioomien yhdistelmä, jota käytetään todistamaan p, niin jokainen p voidaan muuttaa logiikana lauseeksi "joko ei-P tai p". Matematiikkaa ei kuitenkaan suoriteta suorittamalla kaikki vaiheet selkeästi logiikan mukaisesti. aksioomien valinta ja intuitiivinen käsitys ovat tärkeitä sekä matematiikalle että metamathematicsille. Tosiasialliset logiikan johdannaiset, kuten sellaiset, jotka Alfred North Whitehead ja Bertrand Russell ovat suorittaneet juuri ennen ensimmäistä maailmansotaa, eivät ole logiikille juurikaan kiinnostavia. Siksi termin "metaloginen" käyttöönotto voi vaikuttaa tarpeettomalta. Tässä luokituksessa metaloginen ajatellaan kuitenkin käsittelevän paitsi loogisten laskelmien havaintoja myös muodollisten järjestelmien ja muodollisten kielten tutkimuksia yleensä.
Tavallinen muodollinen järjestelmä eroaa loogisesta laskennasta siinä, että järjestelmällä on yleensä tarkoitettu tulkinta, kun taas looginen laskenta jättää tietoisesti mahdolliset tulkinnat avoimiksi. Siksi puhutaan esimerkiksi lauseiden totuudesta tai virheellisyydestä muodollisessa järjestelmässä, mutta loogisen laskennan suhteen puhutaan pätevyydestä (ts. Olevan totta kaikissa tulkinnoissa tai kaikissa mahdollisissa maailmoissa) ja tyydyttävyydestä (tai jolla on malli - toisin sanoen totta tietyssä tulkinnassa). Siksi loogisen laskennan täydellisyydellä on aivan erilainen merkitys kuin muodollisessa järjestelmässä: looginen laskenta sallii monia lauseita sellaisia, että lause eikä sen kieltäminen ole lause, koska se on totta joissakin tulkinnoissa ja vääriä toisissa, ja se vaatii vain, että jokainen voimassa oleva lause on lause.
