Pascalin kolmion matematiikka

Pascalin kolmio, algebralla, lukujen kolmionmuotoinen järjestely, joka antaa kertoimet minkä tahansa binomiaalisen lausekkeen laajenemiselle, kuten (x + y) ⁿ. Se on nimetty 1700-luvun ranskalaisen matemaatikon Blaise Pascalille, mutta se on paljon vanhempi. Kiinalainen matemaatikko Jia Xian suunnitteli kolmionmuotoisen kertoimen kertoimille 11. vuosisadalla. Kiinalainen matemaatikko Yang Hui jatkoi hänen kolmionsa tutkimusta ja popularisointia 13. vuosisadalla, minkä vuoksi Kiinassa sitä kutsutaan usein Yanghuin kolmioksi. Se sisällytettiin esimerkiksi kiinalaisen matemaatikon Zhu Shijien Siyuan yujianiin (1303; ”Neljän elementin jalopeili”), jossa sitä kutsuttiin jo “vanhaksi menetelmäksi”. Persian runoilija ja tähtitieteilijä Omar Khayyam tutkivat myös 1200-luvulla merkittävää kertoimien rakennetta.

Kolmio voidaan rakentaa asettamalla ensin 1 (kiinalainen “-”) vasenta ja oikeaa reunaa pitkin. Sitten kolmio voidaan täyttää ylhäältä lisäämällä kaksi yläpuolella olevaa lukua kolmion kunkin sijainnin vasemmalle ja oikealle. Siten kolmas rivi on hindu-arabialaisin numeroin 1 2 1, neljäs rivi on 1 4 6 4 1, viides rivi on 1 5 10 10 5 1 ja niin edelleen. Ensimmäinen rivi tai vain 1 antaa kertoimen (x + y) ⁰ = 1 laajenemiskertoimelle; toinen rivi tai 1 1 antaa kertoimet (x + y) ¹ = x + y; kolmas rivi tai 1 2 1 antaa kertoimet (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²; ja niin edelleen.

Kolmio näyttää monia mielenkiintoisia kuvioita. Esimerkiksi piirtämällä rinnakkaisia ​​"matalia diagonaaleja" ja lisäämällä numerot jokaiselle riville saadaan Fibonacci-numerot (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,

,), jotka ensimmäisen kerran huomioi keskiaikainen italialainen matemaatikko Leonardo Pisano (”Fibonacci”) Liber abaci -kirjassaan (1202; “Abacusin kirja”).

Kolmion toinen mielenkiintoinen ominaisuus on, että jos kaikki parittomia numeroita sisältävät paikat ovat tummennetut ja kaikki parilliset numerot sisältävät positiot ovat valkoisiksi varjostettuja, muodostetaan Sierpinski-gadgetiksi kutsuttu fraktaali 20. vuosisadan puolalaisen matemaatikon Wacław Sierpińskin jälkeen.