Luun kvadratuuri

Chiosin Hippokrates (fl. 460 bc) osoitti, että kuunmuotoiset ympyräkaarien väliset alueet, jotka tunnetaan nimellä lunes, voidaan ilmaista tarkalleen suoraviivaisena alueena tai kvadratuurina. Seuraavassa yksinkertaisessa tapauksessa kahdella oikean kolmion sivujen ympärille kehitetyllä keulalla on yhdistetty pinta-ala yhtä suuri kuin kolmio.

1. Alkaen oikeasta ΔABC, piirrä ympyrä, jonka halkaisija on sama kuin hypoteenuksen AB (sivu c). Koska mikä tahansa suorakulmainen kolmio, joka on piirretty ympyrän halkaisijaltaan sen hypotenuuseksi, on kirjoitettava ympyrän sisään, C: n on oltava ympyrän sisällä.

2. Piirrä puoliympyrät, joiden halkaisijat ovat AC (sivu b) ja BC (sivu a), kuten kuvassa.

3. Merkitse tuloksena olevat kehykset L ₁ ja L ₂ ja saadut segmentit S ₁ ja S ₂ kuvan osoittamalla tavalla.

4. Nyt keilojen (L ₁ ja L ₂) summan on oltava yhtä suuri kuin niitä sisältävien puolipiirien (L ₁ + S ₁ ja L ₂ + S ₂) summa, josta on vähennetty kaksi segmenttiä (S ₁ ja S ₂). Siten L ₁ + L ₂ = ^π / ₂ (^b / ₂) ² - S ₁ + ^π / ₂ (^a / ₂) ² - S ₂ (koska ympyrän pinta-ala on π kertaa säteen neliö).

5. Segmenttien (S ₁ ja S ₂) summa on yhtä suuri kuin puolipyörän pinta-ala AB: n perusteella vähennettynä kolmion pinta-alalla. Siten, S ₁ + S ₂ = ^π / ₂ (^c / ₂) ² - ΔABC.

6. Korvaamalla lauseke vaiheessa 5 osaksi vaihe 4 ja factoringia ulos yleisiä termejä, L ₁ + L ₂ = ^π / ₈ (a ² + b ² - c ²) + ΔABC.

7. Koska ∠ACB = 90 °, a ² + b ² - c ² = 0, Pythagoran lauseen mukaan. Näin ollen, L ₁ + L ₂ = ΔABC.

   Hippokrates onnistui neliöimällä monenlaisia ​​luuneja, joista osa on kaaria suurempi ja pienempi kuin puoliympyrät, ja hän intimoi, vaikka hän ei ehkä uskonutkaan, että hänen menetelmänsä voisi neliön koko ympyrän. Klassisen ajan lopulla Boethius (s. Mainos 470–524), jonka Euklidin katkelmien latinalaiset käännökset pitäisivät geometrian valoa vilkkumassa puoli vuosituhannen ajan, mainitsivat, että joku oli suorittanut ympyrän neliön. Ei tunneta sitä, käyttivätkö tuntematon nero lunesia vai jotain muuta menetelmää, koska tilan puutteen vuoksi Boethius ei antanut mielenosoitusta. Siten hän välitti ympyrän kvadratuurin haasteen yhdessä geometrian fragmenttien kanssa, jotka olivat ilmeisesti hyödyllisiä sen suorittamisessa. Eurooppalaiset pitivät onnetonta tehtävää hyvin läpi valaistumisen. Lopuksi, vuonna 1775, Pariisin tiedeakatemia, joka oli kyllästynyt havaitsemaan virheitä sille esitetyissä monissa ratkaisuissa, kieltäytyi tekemästä mitään muuta tekemistä ympyrän neliöiden kanssa.