Riemannin hypoteesi, lukujen teoriassa, saksalaisen matemaatikon Bernhard Riemannin hypoteesi Riemannin zeta-funktion ratkaisujen sijainnista, joka on kytketty alkulukulauseeseen ja jolla on tärkeitä vaikutuksia alkulukujen jakautumiseen. Riemann lisäsi hypoteesin asiakirjaan ”Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” (”Enimmäismäärien lukumäärä, joka on alle annetun määrän”), joka julkaistiin Monatsberichte der Berliner Akademie -yrityksen marraskuussa 1859 julkaistussa julkaisussa (”Monthly Review” Berliinin akatemiasta ”).
Zeta-funktio määritellään äärettömäksi sarjaksi ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ tai kompakteissa merkinnöissä, jossa n: n termien summaus (Σ) kulkee yhdestä äärettömään positiivisten kokonaislukujen kautta ja s on kiinteä positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin 1. Zeta-funktiota tutki ensimmäisen kerran sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler 1800-luvulla. (Tästä syystä sitä kutsutaan joskus Euler-zeta-funktioksi. Kohdassa ζ (1) tämä sarja on yksinkertaisesti harmoninen sarja, joka tunnetaan antiikin jälkeen lisääntyvän ilman sidottua - ts. Sen summa on ääretön.) Euler saavutti välittömän maineen, kun hän osoitti vuonna 1735, että ζ (2) = π 2 /6 ja ongelma, joka oli välttyivät eniten matemaatikot aikakauden, kuten Sveitsin Bernoulli perhe (Jakob, Johann, ja Daniel). Yleisemmin Euler löysi (1739) suhteen parillisten kokonaislukujen zeta-funktion arvon ja Bernoulli-lukujen välillä, jotka ovat kertoimia Taylor-sarjan laajennuksessa x / (e x - 1). (Katso myös eksponentiaalifunktio.) Vielä hämmästyttävämpi, vuonna 1737 Euler löysi Zeta-funktioon liittyvän kaavan, johon sisältyy positiivisten kokonaislukujen sisältävän äärettömän termisekvenssin ja äärettömän tuotteen, joka sisältää kaikki alkuluvut, summaaminen:
Riemann laajensi zeeta-funktion tutkimusta sisällyttämällä kompleksiluvut x + iy, missä i = neliöjuuri√ − 1, paitsi rivillä x = 1 kompleksitasossa. Riemann tiesi, että zeeta-funktio on nolla kaikille negatiivisille parillisille kokonaislukuille −2, −4, −6,
(ns. triviaalit nollat) ja että siinä on ääretön määrä nollia monimutkaisten lukujen kriittisellä vyöhykkeellä, jotka ovat tiukasti rivien x = 0 ja x = 1 välissä. Hän tiesi myös, että kaikki ei-triviaaliset nollat ovat symmetrisiä suhteessa kriittinen suoran x = 1 / 2. Riemann arvioi, että kaikki ei-triviaaliset nollat ovat kriittisellä linjalla. Arvio, joka myöhemmin tuli Riemannin hypoteesiksi.
Vuonna 1914 Englanti matemaatikko Godfrey Harold Hardy osoitti, että ääretön määrä ratkaisuja ζ (s) = 0 olemassa kriittinen suoran x = 1 / 2. Myöhemmin useat matemaatikot osoittivat, että suuren osan ratkaisuista on sijaittava kriittisellä linjalla, vaikka usein olevat "todisteet" siitä, että kaikki ei-triviaaliset ratkaisut ovat siinä, ovat puutteellisia. Tietokoneita on käytetty myös ratkaisujen testaamiseen, ja ensimmäisten 10 biljoonan ei-triviaalisen ratkaisun on osoitettu olevan kriittisellä linjalla.
Todistuksella Riemannin hypoteesista olisi kauaskantoisia vaikutuksia lukuteoriaan ja primojen käyttöön salaustekniikassa.
Riemannin hypoteesia on jo pitkään pidetty matematiikan suurimpana ratkaisemattomana ongelmana. Se oli yksi 10: stä ratkaisemattomasta matemaattisesta ongelmasta (23 painetussa osoitteessa), jonka saksalainen matemaatikko David Hilbert esitti 19-luvun matemaatikoille haasteena Pariisissa 8. elokuuta 1900 pidetyssä toisessa kansainvälisessä matematiikan kongressissa. Vuonna 2000 amerikkalainen matemaatikko Stephen Smale päivitti Hilbertin ideaa luettelolla 2000-luvun tärkeistä ongelmista; Riemannin hypoteesi oli numero yksi. Vuonna 2000 se nimitettiin Millennium-ongelmaksi, yhdeksi seitsemästä matemaattisesta ongelmasta, jotka Cambridgen Clay Mathematics Institute valitsi Yhdysvalloissa Massachusettsissa erityispalkinnon saamiseksi. Kunkin Millennium-ongelman ratkaisu on miljoonan dollarin arvoinen. Vuonna 2008 Yhdysvaltain puolustusministeriön (Advanced Defense Research Projects Agency) (DARPA) luetteloi sen yhdeksi DARPA: n matemaattisista haasteista, 23 matemaattisesta ongelmasta, joille se pyysi tutkimusehdotuksia rahoitukseksi - ”Matemaattinen haaste yhdeksäntoista: Aseta Riemannin hypoteesi. Lukuteorian Pyhä Graali. ”
