Aallot syvässä vedessä
Yksi erityinen ratkaisu Laplacen yhtälöön, joka kuvaa aallon liikettä järven tai valtameren pinnalla, on
Tässä tapauksessa x-akseli on etenemissuunta ja z-akseli on pystysuora; z = 0 kuvaa veden vapaata pintaa häiriöttömänä ja z = −D kuvaa pohjapintaa; ϕ 0 on mielivaltainen vakio, joka määrittää liikkeen amplitudin; ja f on aaltojen taajuus ja λ niiden aallonpituus. Jos λ on enemmän kuin muutama senttimetri, pintajännityksellä ei ole merkitystä ja paine nesteessä, joka on juuri sen vapaan pinnan alapuolella, on ilmakehän paine kaikille x: n arvoille. Voidaan osoittaa, että näissä olosuhteissa kohdan (161) kuvailema aallonliike on yhdenmukainen kohdan (157) kanssa, jos taajuus ja aallonpituus liittyvät yhtälöön
ja siitä voidaan päätellä aaltojen nopeuden lauseke, koska V = fλ. Matalaan veteen (D << λ) saadaan vastaus, joka on jo esitetty yhtälönä (138), mutta syvän veden (D >> λ) vastaus on
Syvän veden aallot ovat ilmeisesti hajanaisia, ja surffaajat luottavat tähän tosiasiaan. Valtameren keskellä oleva myrsky häiritsee pintaa kaoottisella tavalla, joka olisi hyödytöntä surffaamiseen, mutta komponentti-aaltojen kulkiessa kohti rantaa ne erottuvat; ne, joilla on pitkät aallonpituudet, liikkuvat edellä lyhyemmillä aallonpituuksilla, koska ne kulkevat nopeammin. Seurauksena on, että aallot vaikuttavat mukavasti säännöllisinä saapumiseen mennessä.
Jokainen, joka on tarkkaillut liikkuvan laivan takana olevia aaltoja, tietää, että ne rajoittuvat vedenpinnan V-muotoiseen alueeseen aluksen kärjessä. Aallot ovat erityisen näkyviä V: n haaroissa, mutta niitä voidaan erottaa myös näiden varsien välillä, joissa aallonkuoret kaarevat kuvassa 12 esitetyllä tavalla. Näyttää yleisesti uskovan, että V: n kulma muuttuu terävämmäksi, kun vene kiihdyttää huomattavasti sillä tavalla, että ylääänisen ammuksen mukana kulkeva kartiomainen iskumaalto tulee akuutimmaksi (katso kuva 8). Siitä ei ole kysymys; dispersiivinen luonne aaltoja syvässä vedessä on sellainen, että V on kiinteä kulma 2 sin -1 (1 / 3) = 39 °. Thomson (lordi Kelvin) selitti ensimmäisenä tämän, ja V-muotoinen alue tunnetaan nyt Kelvin-kiilana.
Versio Thomsonin väitteestä on havainnollistettu kuviossa 13 olevalla kaaviolla. Tässä S (”lähde”) edustaa vasemmalta oikealle liikkuvan aluksen keulaa yhdellä nopeudella U ja linjat merkittynä C, C ′, C ″ Jne. Edustavat joukkoa rinnakkaisiaaltokuoreita, jotka myös liikkuvat vasemmalta oikealle. Voidaan osoittaa, että S luo tämän kuorten sarjan, jos, mutta vain jos, se ajetaan jatkuvasti merkityllä C: llä. (Voidaan myös osoittaa, että vaikka sarjan virheet jatkavat määräämättömästi C: n vasemmalle puolelle, siellä ei voi olla mitään tämän oikealla puolella.) Edellytys siitä, että S ja C liikkuvat yhdessä, osoittaa, että aallonpituuden λ ja kaltevuuden α välillä on suhde, joka ilmaistaan yhtälöllä
Tämä ehto voidaan selvästi täyttää monilla muilla kuoresarjoilla lukuun ottamatta niitä, joita kuvassa esitetään kokonaisilla viivoilla - esim. Sarjalla, jolla on hiukan lyhyempi aallonpituus λ ′, jota edustavat katkoviivat. Kun otetaan huomioon kaikki joukot, jotka tyydyttävät (164) ja joiden aallonpituudet ovat välillä λ: n ja λ: n välillä, tulee ilmeiseksi, että suurimmalla osalla lähteen takana olevaa aluetta ne häiritsevät tuhoavasti. Ne vahvistavat kuitenkin toisiaan kuvassa rengastettujen risteysten lähellä. Nämä leikkauspisteet sijaitsevat linjalla S, joka kulkee kallistuksen β kautta, missä
Tästä seuraa, että vaikka kulma α voi olla mikä tahansa arvo välillä 90 ° (joka vastaa λ = λ max = 2πU 2 / g) ja nolla, tan β ei voi koskaan ylittää 1 / 2 Neliöjuurimalli of√2, ja sin β voi koskaan yli 1 / 3.
Alukset menettävät energiaa Kelvin-kiilan aaltojen kohdalla, ja he kokevat siitä lisää vastustusta. Resistanssi on erityisen suuri, kun keulan luoma aaltojärjestelmä, jossa vesi työnnetään sivuun, vahvistaa ”anti-lähteen” luomaa aaltojärjestelmää perässä, jossa vesi sulkeutuu uudelleen. Tällainen vahvistus tapahtuu todennäköisesti, kun veneen efektiivinen pituus L on yhtä suuri kuin (2n + 1) λmax / 2 (jos n = 0, 1, 2, …) ja siksi kun Froude-luku, U /√: n neliöjuuri (Lg), ottaa yhden arvoista [√ (2n + 1) π]: n neliöjuuri −1. Kuitenkin, kun vene on kiihdytetty U =: n neliöjuuren (Lg / π) ohi, keula- ja peräaallot taipumusvat peruuttamaan, ja aallonmuodostuksesta johtuva vastus pienenee.
Aallot syvässä vedessä, jonka aallonpituus on muutama senttimetri tai vähemmän, kutsutaan yleensä aallotuksiksi. Tällaisissa aalloissa pintajännitykseen liittyvät veden kaarevan pinnan paine-erot (ks. Yhtälö [129]) eivät ole merkityksettömiä, ja niiden etenemisnopeudelle sopiva ilmaisu on
Aallonopeus on siis suuri sekä hyvin lyhyille että hyvin pitkille aallonpituuksille. Normaalissa lämpötilassa olevan veden V: n minimiarvo on noin 0,23 metriä sekunnissa, kun aallonpituus on noin 17 millimetriä, ja tästä seuraa (huomioi, että yhtälöllä [164] ei ole todellista juuria α: lle, ellei U ylitä V: tä), että esine liikkuu veden läpi ei voi lainkaan luoda aaltoja, ellei sen nopeus ylitä 0,23 metriä sekunnissa. Vedenpinnan yli liikkuva tuuli ei myöskään synny värinää, ellei sen nopeus ylitä tiettyä kriittistä arvoa, mutta tämä on monimutkaisempi ilmiö ja kyseinen kriittinen nopeus on selvästi suurempi.
