Jatkuvuushypoteesi, joukko-teorian lausunto siitä, että reaalilukujoukko (jatkumo) on tietyssä mielessä niin pieni kuin se voi olla. Vuonna 1873 saksalainen matemaatikko Georg Cantor osoitti jatkuvuuden jatkuvuuden olevan lukematonta - toisin sanoen todelliset luvut ovat suurempi äärettömyys kuin laskenta-luvut - avaintulos aloittamalla joukko-teoria matemaattisena aiheena. Lisäksi Cantor kehitti tavan luokitella äärettömien joukkojen koko sen elementtien lukumäärän tai kardinaalisuuden perusteella. (Ks. Asetettu teoria: Cardinality ja transfinite-luvut.) Näillä termeillä jatkuvuushypoteesi voidaan todeta seuraavasti: Jatkuvuuden kardinaliteetti on pienin lukemattomat kardinaaliluvut.
asetettu teoria: Cardinality ja transfinite numerot
arvailu, joka tunnetaan jatkuvuushypoteesina.
Cantorin merkinnässä jatkuvuushypoteesi voidaan ilmaista yksinkertaisella yhtälöllä 2 ℵ 0 = ℵ 1, missä an 0 on äärettömän laskettavan joukon (kuten luonnollisten lukujen joukko) kardinalinumero ja suurempien “ hyvin tilattavat sarjat ”ovat ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indeksoituna järjestysluvuilla. Jatkuvuuden kardinaliteetti voidaan osoittaa yhtä suureksi kuin 2 ℵ 0; siten jatkuvuushypoteesi sulkee pois välimuotojoukon olemassaolon luonnollisten lukujen ja jatkuvuuden välillä.
Vahvempi lausunto on yleinen jatkum hypoteesi (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 kullekin järjestysluvulle α. Puolalainen matemaatikko Wacław Sierpiński osoitti, että GCH: lla voidaan saada aikaan valittu aksiooma.
Kuten valitun aksiooman suhteen, itävaltalainen syntyperäinen amerikkalainen matemaatikko Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että jos muut vakio-Zermelo-Fraenkel-aksioomat (ZF; katso
taulukko) ovat yhdenmukaisia, silloin ne eivät kiistä jatkuvuushypoteesia tai edes GCH: ta. Toisin sanoen tulos GCH: n lisäämisestä muihin aksioomiin pysyy yhdenmukaisena. Sitten vuonna 1963 amerikkalainen matemaatikko Paul Cohen saattoi kuvan valmiiksi osoittaen jälleen olettaen, että ZF on johdonmukainen, että ZF ei anna todisteita jatkumohypoteesista.
Koska ZF ei todista eikä kiistä jatkuvuushypoteesia, on edelleen kysymys siitä, hyväksytäänkö jatkuvuushypoteesi, joka perustuu epäviralliseen käsitykseen siitä, mitkä joukot ovat. Yleinen vastaus matemaattisessa yhteisössä on ollut kielteinen: jatkuvuushypoteesi on rajoittava lausunto tilanteessa, jossa ei ole tiedossa olevaa syytä rajata. Set theory, teho-set toiminta antaa jokaiselle joukon mahtavuus ℵ a: sen asetettu kaikkien osajoukkojen, joka on kardinaliteetin 2 ℵ a:. Ei näytä olevan mitään syytä asettaa rajoitusta alajoukkojen monimuotoisuudelle, jolla äärettömällä joukolla voi olla.
![Kolmenkymmenen Ranskan historian taistelu [1351]](https://images.thetopknowledge.com/img/world-history/6/battle-thirty-french-history-1351.jpg "Kolmenkymmenen Ranskan historian taistelu [1351]")
