János Bolyai, (syntynyt 15. joulukuuta 1802, Kolozsvár, Unkari [nykyinen Cluj, Romania] - kuollut 27. tammikuuta 1860, Marosvásárhely, Unkari [nykyinen Târgu Mureş, Romania]), unkarilainen matemaatikko ja yksi ei-euklidialaisen geometrian perustajista. - geometria, joka eroaa euklidisesta geometriasta rinnakkaisviivojen määrittelyssä. Yhtenäisen vaihtoehtoisen geometrian löytäminen, joka saattaisi vastata maailmankaikkeuden rakennetta, auttoi matemaatikoita vapauttamaan abstraktien käsitteiden tutkimisesta riippumatta mahdollisesta yhteydestä fyysiseen maailmaan.
13-vuotiaana Bolyai oli oppinut laskutoimitukset ja analyyttisen mekaniikan isänsä, matemaatikon Farkas Boljain, alaisuudessa. Hänestä tuli myös varhaisessa vaiheessa taitava viulisti, ja myöhemmin hänet tunnettiin loistavana miekkamiehenä. Hän opiskeli Wienin kuninkaallisessa teknillisessä korkeakoulussa (1818–22) ja palveli armeijan teknillisessä yksikössä (1822–33).
Vanhempi Bolyai oli kiinnostunut Euclidin samansuuntaisen aksiooman todistamisesta tartuttaen hänen poikansa, ja isänsä varoituksista huolimatta János jatkoi omaa ratkaisunsa etsimistä. 1820-luvun alkupuolella hän päätteli, että todisteet olivat luultavasti mahdottomia, ja aloitti geometrian kehittämisen, joka ei riippui Euclidin aksioomista. Vuonna 1831 hän julkaisi liitteen Scientiam Spatii Absolute Veram Exhibens (”Liite, joka selittää aivan totta avaruustieteestä”), täydellisen ja johdonmukaisen ei-euklidisen geometrian järjestelmän liitteenä isänsä geometriakirjalle, Tentamen Juventutem Studiosam Elementassa. Matheseos Purae Initcendi (1832; ”Yrittäminen esitellä oppilasnuoria puhtaan matematiikan alkioihin”).
Kopio tästä työstä lähetettiin saksalaiselle Carl Friedrich Gaussille, joka vastasi löytäneensä tärkeimmät tulokset muutama vuosi aiemmin. Tämä oli syvä isku Bolijaille, vaikka Gaussilla ei ollut mitään prioriteettia, koska hän ei ollut koskaan julkaissut löytöjään. Boliviain essee jäi muiden matemaatikkojen huomaamatta. Vuonna 1848 hän huomasi, että Nikolay Ivanovich Lobachevsky oli julkaissut tilin käytännöllisesti katsoen samasta geometriasta vuonna 1829.
Vaikka Bolyai jatkoi matemaattisia opintojaan, hänen työnsä merkitystä ei tunnistettu hänen elämässään. Sen lisäksi, että hän työskenteli muulla kuin euklidisella geometrialla, hän kehitti geometrisen käsityksen kompleksisista numeroista tilattuina reaalilukupareina.
