Riemannin zeta-funktio, funktio, joka on hyödyllinen lukuteoriassa alkulukujen ominaisuuksien tutkimiseksi. Kirjoitettuna nimellä ζ (x), se määriteltiin alun perin äärettömäksi sarjaksi (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 −x + ⋯. Kun x = 1, tätä sarjaa kutsutaan harmoniseksi sarjaksi, joka kasvaa ilman sidottua - ts. Sen summa on ääretön. Jos arvo on x suurempi kuin 1, sarja muuttuu äärelliseksi numeroksi peräkkäisiä termejä lisättäessä. Jos x on vähemmän kuin 1, summa on jälleen ääretön. Zetafunktio oli sveitsiläisen matemaatikon Leonhard Eulerin tiedossa vuonna 1737, mutta saksalainen matemaatikko Bernhard Riemann tutki sen ensin perusteellisesti.
Vuonna 1859 Riemann julkaisi paperin, jossa annettiin selkeä kaava primojen lukumäärälle ennalta määrättyyn rajaan saakka - päätetty parannus verrattuna alkuluvun lauseen antamaan likimääräiseen arvoon. Riemannin kaava riippui kuitenkin arvojen tuntemisesta, joilla zeeta-funktion yleinen versio on nolla. (Riemannin zeta-funktio on määritelty kaikille kompleksilukuille - muodon x + iy numeroille, joissa i = √1 - neliöjuuri - lukuun ottamatta viivaa x = 1.) Riemann tiesi, että funktio on nolla kaikille negatiivisille edes kokonaisluvut −2, −4, −6,
(ns. triviaalit nollat), ja että siinä on ääretön määrä nollia kriittisellä kaistaleella, jonka kompleksiluvut ovat viivojen x = 0 ja x = 1 välissä, ja hän tiesi myös, että kaikki ei-triviaaliset nollat ovat symmetrisiä kriittisen suhteen. suoran x = 1 / 2. Riemann arvioi, että kaikki ei-triviaaliset nollat ovat kriittisellä linjalla. Arvio, joka myöhemmin tuli Riemannin hypoteesiksi.
Vuonna 1900 saksalainen matemaatikko David Hilbert kutsui Riemannin hypoteesia yhdeksi tärkeimmistä kysymyksistä kaikessa matematiikassa, josta käy ilmi sen sisällyttäminen hänen vaikutusvaltaiseen luetteloon 23 ratkaisematta olevasta ongelmasta, joiden kanssa hän haastoi 1900-luvun matemaatikoita. Vuonna 1915 englantilainen matemaatikko Godfrey Hardy osoitti, että kriittisellä viivalla esiintyy ääretön määrä nollia, ja vuoteen 1986 mennessä ensimmäiset 1 500 000 001 ei-triviaalia nollia osoitettiin olevan kriittisellä viivalla. Vaikka hypoteesi voi vielä osoittautua vääriksi, tämän vaikean ongelman tutkimukset ovat rikastaneet monimutkaisten lukujen ymmärtämistä.
